חיתוך הזהב / מריו ליביו

כותרת משנה: קורותיו של מִספר מופלא

שני מונחים מתמטיים לפתיחה:

חיתוך הזהב, המוכר גם כיחס הזהב, הוא מספר אירציונלי שסימנו פי ɸ, וערכו בקירוב 1.618 (ועוד אינסוף ספרות אחרי האפס). חיתוך הזהב התגלה ככל הנראה על ידי אחד מתלמידיו של פיתגורס, הווה אומר לפני כ-2,500 שנים. בספרו של אוקלידס, "יסודות", הוא כונה בשם פחות מפואר, "יחס קיצוני וממוצע". המתמטיקאי והנזיר פאצ'ולי העניק לו בתקופת הרנסנס את הכינוי "הפרופורציה האלוהית". התמונה למטה, מתוך ויקיפדיה, מדגימה את הקבוע המתמטי: כאשר היחס בין הקטע a לקטע b שווה ליחס שבין a+b ל-b, מתקיים חיתוך הזהב.

סדרת פיבונאצ'י היא סדרת מספרים הנפתחת בשני מספר 1, וכל איבר בסדרה, החל מן השלישי, הוא סכום האיברים שקדמו לו. היחס בין כל שני מספרים עוקבים מתכנס בהדרגה לחיתוך הזהב (כלל זה מתקיים בכל סדרה דומה, גם אם אינה נפתחת ב-1, 1 – מוזמנים לבדוק).

לקבועים מתמטיים, דוגמת ɸ ודוגמת π המוכר אף יותר, ולסדרת פיבונאצ'י, חשיבות רבה בתחומי המתמטיקה הטהורה. מריו ליביו עוקב אחר גלגוליהם, מציג את מופעיהם, ומדגים כמה הוכחות הקשורות בהם. אמנם את המתמטיקה הסבוכה יותר הוא שומר לנספחים, אבל אודה שגם את זו שהוא מציג בגוף הטקסט לא תמיד הבנתי, ואם הבנתי לא ברור אם אזכור (או ביתר כנות, ברור שאשכח). לעומת זאת, נהניתי הנאה מרובה והועשרתי בידע מחלקיו הפחות מתמטיים, והם הרוב, של הספר. ליביו מטפל אחד לאחד בכל המיתוסים שנקשרו בחיתוך הזהב, ומנפץ כמעט את כולם. בניגוד למופעים הרבים של החיתוך בטבע – בקונכיות הנאוטילוס ובפרחי החמניה, אם להזכיר שתי דוגמאות –  המופעים המיוחסים לו באמנות נובעים ברובם ממיסטיפיקציה ומשגיאות מדידה. מן הפירמידות במצרים ועד המונה ליזה והמוסיקה של באך – חיתוך הזהב לא נכלל בתהליך היצירה. באדריכלות ובאמנות הקרובות יותר לימינו יש לחיתוך הזהב נוכחות. כך מסביר ליביו את הנהיה אחר הפרופורציה האלוהית: כל הנסיונות לחשוף את הימצאותו (האמיתית או המדומה) של חיתוך הזהב ביצירות אמנות שונות, במוסיקה או בשירה, מסתמכים על ההנחה שיש בנמצא קנון של יופי אידיאלי, ושאפשר ליישמו הלכה למעשה. אבל ההיסטוריה מלמדת כי האמנים שיצירותיהם עומדות לעד הם דווקא אלה שניפצו את האזיקים האקדמיים הללו. למרות חשיבותו של חיתוך הזהב בתחומים רבים של המתמטיקה, המדעים המדויקים ותופעות הטבע, מוטב לנו לעניות דעתי שנוותר על השימוש בו כאמת מידה קבועה באסתטיקה – אם בצורתו של האדם ואם כאבן בוחן לאמנויות.

חיתוך הזהב הוא נושאו של הספר, אך ליביו מרחיב את היריעה, ומעלה נקודות מעניינות למחשבה. מכיוון שהמספרים כל כך טבעיים בחיי היומיום, לא זכור לי שנתתי את דעתי על השאלה כיצד החלו בני האדם לספור. ליביו מקדיש לנושא זה את הפרק הראשון. הפרק האחרון דן בשאלה מעניינת לא פחות – מהי המתמטיקה, וכיצד שעשועים רוחניים טהורים ובלתי מעשיים בעליל מתגלים כפותרי תעלומות היקום, או בלשונו של איינשטיין: "הכיצד יכולה המתמטיקה, פרי מחשבתו של האדם שאינה תלויה בהתנסות כלשהי, להתאים בצורה כה קולעת למציאות הגשמית?". ליביו מציג את תפיסתו של אפלטון, לפיה המתמטיקה אוניברסלית ואובייקטיבית, וכל שנותר לאדם לעשות הוא לגלות אותה. מולה הוא מתאר את התפיסה המנוגדת הרואה במתמטיקה המצאה אנושית שהתפתחה בדרך של אבולוציה ושל ברירה טבעית. עמדתו שלו משלבת בין שתי התפיסות הללו: המתמטיקה שלנו היא מקבילתו הסמלית של היקום שאנו תופסים, ועוצמתה הולכת ומתחזקת בתמדה מכוח החקר האנושי. מן הפרק הראשון ועד האחרון שורה על הספר רוח ההתלהבות המדעית, החל באהבתו של הכותב לנושאיו, ועבור בדבריו של תיאודור אנדריאה קוק, "אין צורך בשום צידוק לכתיבת הפרקים הללו על תצורות לולייניות, מעבר לענין וליופי שבחקירתן", ושל תומס אקווינס, "החושים מתרוננים על פרופורציות ראויות".

אחרי כל המדידות שהוזכרו בספר, וכל החיפושים אחרי חיתוך הזהב במקומות בהם אינו נמצא, נתקפתי דחף למדוד את הספר בתקווה לגלות שמימדיו נקבעו בהתאם לנושאו. הם לא.

כמו בספרו "למה?", גם כאן מריו ליביו מנגיש נושא מדעי לקורא הבלתי מקצועי, ברהיטות, בענייניות ובהתלהבות מדבקת. מומלץ.

The Golden Ratio – Mario Livio

אריה ניר

2003 (2002)

תרגום מאנגלית: עמנואל לוטם