חיתוך הזהב / מריו ליביו

0770000167409

כותרת משנה: קורותיו של מִספר מופלא

שני מונחים מתמטיים לפתיחה:

חיתוך הזהב, המוכר גם כיחס הזהב, הוא מספר אירציונלי שסימנו פי ɸ, וערכו בקירוב 1.618 (ועוד אינסוף ספרות אחרי האפס). חיתוך הזהב התגלה ככל הנראה על ידי אחד מתלמידיו של פיתגורס, הווה אומר לפני כ-2,500 שנים. בספרו של אוקלידס, "יסודות", הוא כונה בשם פחות מפואר, "יחס קיצוני וממוצע". המתמטיקאי והנזיר פאצ'ולי העניק לו בתקופת הרנסנס את הכינוי "הפרופורציה האלוהית". התמונה למטה, מתוך ויקיפדיה, מדגימה את הקבוע המתמטי: כאשר היחס בין הקטע a לקטע b שווה ליחס שבין a+b ל-b, מתקיים חיתוך הזהב.

סדרת פיבונאצ'י היא סדרת מספרים הנפתחת בשני מספר 1, וכל איבר בסדרה, החל מן השלישי, הוא סכום האיברים שקדמו לו. היחס בין כל שני מספרים עוקבים מתכנס בהדרגה לחיתוך הזהב (כלל זה מתקיים בכל סדרה דומה, גם אם אינה נפתחת ב-1, 1 – מוזמנים לבדוק).

לקבועים מתמטיים, דוגמת ɸ ודוגמת π המוכר אף יותר, ולסדרת פיבונאצ'י, חשיבות רבה בתחומי המתמטיקה הטהורה. מריו ליביו עוקב אחר גלגוליהם, מציג את מופעיהם, ומדגים כמה הוכחות הקשורות בהם. אמנם את המתמטיקה הסבוכה יותר הוא שומר לנספחים, אבל אודה שגם את זו שהוא מציג בגוף הטקסט לא תמיד הבנתי, ואם הבנתי לא ברור אם אזכור (או ביתר כנות, ברור שאשכח). לעומת זאת, נהניתי הנאה מרובה והועשרתי בידע מחלקיו הפחות מתמטיים, והם הרוב, של הספר. ליביו מטפל אחד לאחד בכל המיתוסים שנקשרו בחיתוך הזהב, ומנפץ כמעט את כולם. בניגוד למופעים הרבים של החיתוך בטבע – בקונכיות הנאוטילוס ובפרחי החמניה, אם להזכיר שתי דוגמאות –  המופעים המיוחסים לו באמנות נובעים ברובם ממיסטיפיקציה ומשגיאות מדידה. מן הפירמידות במצרים ועד המונה ליזה והמוסיקה של באך – חיתוך הזהב לא נכלל בתהליך היצירה. באדריכלות ובאמנות הקרובות יותר לימינו יש לחיתוך הזהב נוכחות. כך מסביר ליביו את הנהיה אחר הפרופורציה האלוהית: כל הנסיונות לחשוף את הימצאותו (האמיתית או המדומה) של חיתוך הזהב ביצירות אמנות שונות, במוסיקה או בשירה, מסתמכים על ההנחה שיש בנמצא קנון של יופי אידיאלי, ושאפשר ליישמו הלכה למעשה. אבל ההיסטוריה מלמדת כי האמנים שיצירותיהם עומדות לעד הם דווקא אלה שניפצו את האזיקים האקדמיים הללו. למרות חשיבותו של חיתוך הזהב בתחומים רבים של המתמטיקה, המדעים המדויקים ותופעות הטבע, מוטב לנו לעניות דעתי שנוותר על השימוש בו כאמת מידה קבועה באסתטיקה – אם בצורתו של האדם ואם כאבן בוחן לאמנויות.

חיתוך הזהב הוא נושאו של הספר, אך ליביו מרחיב את היריעה, ומעלה נקודות מעניינות למחשבה. מכיוון שהמספרים כל כך טבעיים בחיי היומיום, לא זכור לי שנתתי את דעתי על השאלה כיצד החלו בני האדם לספור. ליביו מקדיש לנושא זה את הפרק הראשון. הפרק האחרון דן בשאלה מעניינת לא פחות – מהי המתמטיקה, וכיצד שעשועים רוחניים טהורים ובלתי מעשיים בעליל מתגלים כפותרי תעלומות היקום, או בלשונו של איינשטיין: "הכיצד יכולה המתמטיקה, פרי מחשבתו של האדם שאינה תלויה בהתנסות כלשהי, להתאים בצורה כה קולעת למציאות הגשמית?". ליביו מציג את תפיסתו של אפלטון, לפיה המתמטיקה אוניברסלית ואובייקטיבית, וכל שנותר לאדם לעשות הוא לגלות אותה. מולה הוא מתאר את התפיסה המנוגדת הרואה במתמטיקה המצאה אנושית שהתפתחה בדרך של אבולוציה ושל ברירה טבעית. עמדתו שלו משלבת בין שתי התפיסות הללו: המתמטיקה שלנו היא מקבילתו הסמלית של היקום שאנו תופסים, ועוצמתה הולכת ומתחזקת בתמדה מכוח החקר האנושי. מן הפרק הראשון ועד האחרון שורה על הספר רוח ההתלהבות המדעית, החל באהבתו של הכותב לנושאיו, ועבור בדבריו של תיאודור אנדריאה קוק, "אין צורך בשום צידוק לכתיבת הפרקים הללו על תצורות לולייניות, מעבר לענין וליופי שבחקירתן", ושל תומס אקווינס, "החושים מתרוננים על פרופורציות ראויות".

אחרי כל המדידות שהוזכרו בספר, וכל החיפושים אחרי חיתוך הזהב במקומות בהם אינו נמצא, נתקפתי דחף למדוד את הספר בתקווה לגלות שמימדיו נקבעו בהתאם לנושאו. הם לא.

כמו בספרו "למה?", גם כאן מריו ליביו מנגיש נושא מדעי לקורא הבלתי מקצועי, ברהיטות, בענייניות ובהתלהבות מדבקת. מומלץ.

The Golden Ratio – Mario Livio

אריה ניר

2003 (2002)

תרגום מאנגלית: עמנואל לוטם

חיתוך הזהב1

הסודות המתמטיים של הסימפסונים / סיימון סינג

d3627037b

אל ג'ין, כותב ומפיק של הסימפסונים, מצוטט בספר כמי שאמר "אנימציה היא יקום של מתמטיקאי". ג'ין, שסיים לימודי תואר ראשון במתמטיקה באוניברסיטת הרוורד בהיותו בן עשרים, הוא אחד מן האקדמאים המאיישים את הצוות שמאחורי הצלחת הסדרה. ג'ף וסטברוק, כותב נוסף, אוחז בדוקטורט במדעי המחשב, ולפני שבחר בקריירה של כותב תסריטים היה פרופסור חבר בייל וחוקר במעבדות איי-טי-אנד-טי בל. שני אלה, וכותבים מתמטיקאים אחרים, שילבו בפרקי הסדרה אינספור התיחסויות בתחומם, וסיימון סינג מתייחס בספר לכמה מהן.

הרשימה אותי במיוחד המסירות של הכותבים לדיוק של הפן המתמטי. הנה שתי דוגמאות. הראשונה – בפרק "הקוסם מאוורגרין טראס" הומר מחליט להיות ממציא כאדיסון. בתמונה חטופה הוא נראה משרבט נוסחאות. כל אחת מארבע השורות שעל הלוח מייצגת תפיסה מתמטית, וסינג מסביר את כולן. השורה השניה, לענייננו, מציגה שוויון המפר לכאורה את המשפט האחרון של פרמה (שאודותיו כתב סינג בספר נפרד). כדי למצוא את הערכים לשוויון זה כתב דייויד ס. כהן, אחד מתסריטאי הסדרה, בעל תואר ראשון בפיזיקה ושני במדעי המחשב, תוכנה שסרקה מספרים בחיפוש אחרי הערכים המתאימים. כל זה עבור שניות על המסך (אבל די היה בשניות אלה כדי ש"חנונים" מקרב הצופים יבינו את משמעותו של השוויון ויתהו כיצד הוא אפשרי, ומכיוון שאני נהנית כשאני קולטת התיחסויות בתחומים אחרים, אני מזדהה עם חדוותם). דוגמא שניה – בפרק "מארג' בשלשלאות" אָפּוּ מעיד על עצמו שהוא יודע לדקלם את הספרות של הערך π עד המקום ה-40,000 אחרי הנקודה, ומוסיף שהספרה האחרונה היא 1. בתקופה בה נכתב פרק זה השיא העולמי בשינון ספרות הערך האינסופי הזה אכן היה 40,000, וכדי לברר מהי הספרה שבמקום האחרון פנו הכותבים אל מתמטיקאי שעבד בנאס"א, וזה הדפיס עבורם את המספר על כל ספרותיו. אגב, כדי להמנע מהשתלטות השיח המתמטי על ישיבות הכתיבה, הקימו התסריטאים מועדון בו מושמעות הרצאות ונערכים דיונים בתחום.

מסתבר שלא רק צופים מן השורה בעלי נטיה למספרים שמו לב לסודות המתמטיים של הסימפסונים (וגם של "פיוצ'רמה" שפותחה מאוחר יותר על ידי אותו יוצר, מאט גרונינג). סינג מספר על שני מתמטיקאים בעלי שם – ד"ר שרה גרינוולד וד"ר אנדרו נסטלר – שעושים בהרצאותיהם שימוש במובאות מן הסדרה. כאות הוקרה הוזמנו השניים להיות נוכחים בהקראה של תסריט לפרק חדש, "מארג' והומר משחקים זוג או פרט". במקרה היה זה פרק ללא אזכורים מתמטיים, אך לכבוד האורחים נבחן התסריט מחדש, ובפרק שולבו בסופו של דבר מספרים בעלי משמעות.

שמחתי למצוא בספר ציטוט שאני אוהבת מפיו של ריצ'רד פיינמן, שקראתי בעבר בספרו שלו, וגם אצל ריצ'רד דוקינס ב"לפרום את הקשת בענן", ואצל חיים שפירא ב"זכרון ילדות יפה במיוחד". פיינמן, במענה לפואמה של קיטס הטוענת שניתוח רציונלי פוגם ביפי הטבע, קובע כי הידע רק מוסיף על הרושם. סינג מתייחס לנושא בהקשר של הפרק "מאניבארט", שבו ליסה משתמשת במתמטיקה כדי לאמן קבוצת בייסבול. בארט, לעומתה, מעדיף גישה אינטואיטיבית.

תרגומו של הספר לעברית נהיר וטבעי, אם כי הייתי שמחה ללשון פחות "הייטקית", הווה אומר לשימוש מופחת בעִברות (דוגמת "ריפרור") במקום בו קיימות חלופות פשוטות.

סיימון סינג הפיזיקאי עשה לעצמו שם בציבור בזכות ספריו, בהם הוא מנהיר נושאים סבוכים. הספר הזה, כמו קודמיו, נכתב מתוך אהבה והתלהבות, ולכן, גם כשהמתמטיקה עשויה להרתיע, רוח הכתיבה מספיקה כדי לרתק גם את הקורא הבלתי מקצועי. אודה כי למרות בהירות הסבריו של סינג, לא הכל הבנתי, אבל יש בספר די כדי שקוראים שונים יוכלו ללקט ממנו על פי טעמם ועל פי נטיותיהם. נהניתי מתיאורי העבודה על התסריט, מכל מה שכרוך בהיסטוריה של המתמטיקה, ופה ושם גם הרחבתי מעט את הידע המתמטי הבסיסי שלי. סינג, למרות רצינותו המדעית, כותב בהומור ובכשרון סיפורי, והספר קריא, מעשיר ומהנה.

דוגמאות למתמטיקה של הסימפסונים ניתן לראות באתר הזה.

The Simpsons and their Mathematical Secrets – Simon Singh

ידיעות ספרים

2018 (2013)

תרגום מאנגלית: חיים שמואלי

הסודות המתמטיים של הסימפסונים - לוח