פלוסים ומינוסים / סטפן בויסמן

כותרת משנה: איך המתמטיקה מקילה את התנהלותנו בעולם

סטפן בויסמן, פילוסוף של המתמטיקה, מסביר ב"פלוסים ומינוסים" עד כמה המתמטיקה, שזכורה לרבים מאתנו כמטלה מתישה וסתומה-משהו מן השיעורים בתיכון, היא שימושית, וכמה חשוב להבין את ההגיון שלה ואת עקרונותיה. מטרתו אינה להפוך את הקוראים למתמטיקאים נלהבים, אלא להראות כיצד התחום הזה, שמצטייר לעתים מנותק ובלתי רלוונטי, מניע את חיינו באינספור היבטים. מכיוון שנוכחותו בחיינו כל כך דומיננטית, הדעת נותנת שהיכרות מסוימת אתו רצויה וחיונית.

בעולם של היום עדיין מצויות חברות המתנהלות ללא מספרים, ומבססות את קיומן על מיומנויות מולדות. מן הסתם די היה בכך בעולם של פעם, שבו הניהול החברתי היה פשוט ואינטואיטיבי משום שהיחידות החברתיות היו קטנות ופשוטות אף הן. המספרים והמתמטיקה הופיעו כשבני האדם החלו להתקבץ בחבורות גדולות, והתנהלות מסודרת היתה בלתי אפשרית בלעדיהם, בין אם מדובר בצרכי המסחר ובין אם בגביית מסים. בויסמן מתאר את ההתפתחויות במסופוטמיה, שהותירה אחריה עדויות רבות חרוטות על חרסים, במצרים, שהשתמשה בפפירוסים מתכלים ולכן היא דלה יותר בעדויות, ביוון, שהעדיפה את התיאוריה על פני היישום והניחה את היסודות לחשיבה מתמטית, ובסין שהעדיפה את היישום ולא עסקה בתיאוריה.

מכאן עובר הכותב להתפתחותם של תחומים מורכבים יותר. הוא מסביר את תמצית מהותם של אינטגרלים ודיפרנציאלים, ואת נוכחותם בכל מה שמקיף אותנו, מבנית גשרים ועד תחזית מזג האויר. הוא מתאר את התפתחות הסטטיסטיקה, שמופיעה בין השאר בכל סקר שאנו קוראים, וטוען כי "אם אתם מבינים איך המידע מחושב ואיך הוא יכול להיות שגוי, אתם יכולים להתבונן בו בעין ביקורתית יותר". לבסוף הוא כותב על תורת הגרפים שבבסיס האלגוריתמים של פייסבוק וגוגל, ועל השפעתם של אלה כל מה שמעסיק אותנו ללא הרף, כגון חדשות כזב, פרטיות, בינה מלאכותית.

המספרים, אומר בויסמן, "עוזרים לנו להקנות מבנה לכל מה שאנו פוגשים סביבנו. הם מועילים וקלים ליישום מפני הם ממקדים את תשומת לבנו במבנה, ומתעלמים מכל הפרטים שאינם חשובים באותו רגע". קלים לישום? תלוי למי, אני מניחה. מועילים? ללא עוררין. מכל מקום, אין ספק שהבנה כיצד פועלים הדברים "מאחורי הקלעים" מרחיבה את הבנת הדברים הנראים, ומאפשרת יתר שיקול דעת במקומות בהם הוא נדרש.

מן הספר נעדרות כליל נוסחאות. לעומת זאת יש בו אנקדוטות רבות המסופרות בחן, ביניהן תיאורים מן העולם העתיק וסכסוכי אגו וכבוד בין דמויות שנחקקו בהיסטוריה. אחד מן הקטעים החביבים בעיני הוא מובאה מתוך טקסט משנת 1740 לפני הספירה שנמצא בבית ספר במסופוטמיה. בטקסט מתוארת שיחה בין שני סופרים, כלומר מתמטיקאים, מנהלי חשבונות, יודעי קרוא וכתוב. הגבר הזקן מן השניים מתלונן כי "הצעירים של היום כבר לא יודעים לעשות שום דבר, אפילו לא לחלק כברת אדמה בין שני אנשים", ומאשים את רמת ההוראה שהידרדרה מאוד. נשמע עכשווי בכל דור.

"פלוסים ומינוסים" הוא ספר מעשיר, נעים לקריאה ומומלץ.

Pluses and Minuses – Stefan Buijsman

מטר

2022 (2018)

תרגום מאנגלית: עדי מרקוזה הס

הפקיד ההודי / דייוויד לוויט

סריניוואסה רמנוג'ן היה מתמטיקאי הודי בתקופה בה הודו היתה נתונה לשלטון בריטי. לבדו, ללא השכלה מסודרת וללא תמיכה אקדמית, הגיע לתובנות שהרשימו את גודפרי הרולד הארדי, מן המתמטיקאים הבריטים המובילים. הארדי הצליח לארגן את הגעתו של רמנוג'ן לאוניברסיטת קיימברידג', ולימים אמר בצניעות, למרות הישגיו הרבים, כי גילויו של רמנוג'ן היה תרומתו הגדולה ביותר לתחום המתמטיקה.

הספר אמנם נקרא "הפקיד ההודי", על שם העיסוק שממנו התפרנס רמנוג'ן קודם שעבר לבריטניה, אבל הוא גם סיפורו של הארדי, ובהרחבה סיפורה של התקופה. חייו של רמנוג'ן השתנו ב-1913, בהיותו בן עשרים ושש, כשסוף סוף ניתן לו לעסוק אך ורק במתמטיקה טהורה, כפי שביקש לעשות מילדות. העולם עתיד היה להשתנות שנה אחר-כך עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה. דייוויד לוויט, שניכר כי חקר את קורותיהם של האישים ואת ארועי התקופה לעומק, עוסק בספר בשפע נושאים, ביניהם הפערים התרבותיים בין הודו לבריטניה, שמיררו את חייו של רמנוג'ן; הפציפיזם של הארדי, שעליו שילם מחיר, כמו גם זה של חבריו, שהבולט בהם היה ברטרנד ראסל; מעמדן המתסכל של הנשים הבריטיות, שבין השאר הותיר אותן בשולי האקדמיה; העירוב המזיק של פוליטיקה באקדמיה; הסוד הגלוי של ההומוסקסואליות של הארדי; ההצדקה לעיסוק במתמטיקה טהורה, בלתי ישומית, למרות האיזוטריות שלה ("זו תגלית בעלת חשיבות עצומה עבור כעשרים אנשים", אומר הארדי על תגלית של שותפו, ג'ון אדנזור ליטלווד); ועוד. כל אלה שלובים יחד ברומן סוחף.

הנה שלושה דברים מעניינים (שתי עובדות מהותיות ואנקדוטה אחת) שלמדתי מן הקריאה בספר, השופע נושאים מעניינים רבים.

במשך שנים רבות התקיים בקיימברידג' מבחן הטרייפוז השנתי במתמטיקה, שהניגשים אליו זכו לתארי כבוד על פי הישגיהם בו. נשים לא הורשו תחילה לגשת אליו, וכשכבר ניתנה הרשות – הישגיהן לא נכללו בדירוג. בשנת 1890 עשתה פיליפה פוסט היסטוריה כשהציון שהשיגה היה גבוה משמעותית מזה של הגבר שהוכתר כזוכה במקום הראשון. לא רק הציון שלה זכה להתעלמות, היא, ושאר הנשים, לא היו זכאיות לתואר אקדמי מטעם המוסד. בין השנים 1904 ו-1907 נהגו נשים, שלמדו בקיימברידג', לשוט עם סיום לימודיהן לדבלין (על שם השיט הן נקראו Steamboat Ladies), שם הוענק להן תואר על ידי קולג' טריניטי, שהיה היחיד שהעניק תארים זהים לגברים ולנשים.

המתמטיקה היתה עולמם של הארדי ושל רמנוג'ן. פה ושם הספר מציג נושאים מתמטיים, שאמנם התקשיתי להבין, אבל לא התקשיתי כלל לחוש את ההתלהבות ואת ההתפעמות שחשו המתמטיקאים. הנה ציטוט חלקי מן הדברים שלוויט שם בפיו של הארדי: "זה היה העולם שבו רמנוג'ן ואני היינו המאושרים ביותר – עולם רחוק מדת, מלחמה, ספרות, מין ואפילו פילוסופיה […] שמעתי על מתמטיקאים שנכלאו בשל היותם מתנגדים למשטר או פציפיסטים, ונהנו מהבדידות הנדירה שהעניק להם הכלא […] לוח וכמה גירים. זה כל מה שנחוץ […] לוח וכמה גירים, והעולם הזה, העולם הממשי, הוא שלכם".

הארדי היה אתאיסט מוצהר, שנהג "להערים" על האלוהים שבו לא האמין באמצעות תפילות הפוכות (כשהיה מעונין בגשם התפלל בלבו לשמש, וכיוצא באלה). באחד הימים, כשחשש לצאת לשיט, שיגר לחבריו גלויות ובהן בישר שעלה בידו להוכיח את השערת רימן. על פי השמועה, אחרי מותו של רימן השמידה סוכנת הבית שלו את ניירותיו, שכללו בין השאר את ההוכחה האבודה. הארדי "הניח" שאלוהים לא יאפשר את קיומן של שתי אגדות על הוכחות אבודות, וכך "הבטיח" את עצמו מפני טביעה. הוא אמנם הגיע בשלום ליעדו, אבל היה עליו לטרוח רבות כדי להסביר את התרגיל ולהפריך את תוכנן של הגלויות.

הספר שופע דמויות מן ההיסטוריה של המאה העשרים – אזכיר את ג'ון מיינרד קיינס, ד.ה. לורנס, לודוויג ויטגנשטיין – המופיעות כאן בחיי היומיום שלהן, דמויות בשר ודם, לאו דווקא מתוך ראיית תפקידן ההיסטורי.

רמנוג'ן סבל מבעיות בריאותיות ומקשיי הסתגלות למדינתו החדשה. במהלך כחמש שנותיו בבריטניה היה מאושפז לבדיקות ולהבראה לתקופות ארוכות, ואף ניסה להתאבד. הארדי, על פי גרסת הספר, היכה על חטא: "שברנו את רמנוג'ן, חיברנו אותו בחזרה, ושוב שברנו אותו. עד שסחטנו ממנו את כל מה שיכולנו. עד שהוא לא יכול היה יותר. רק אז שחררנו אותו". בגיל שלושים ושתיים, אחרי שובו להודו, רמנוג'ן נפטר והותיר אחריו שורה ארוכה של תגליות מתמטיות.

"הפקיד ההודי" הוא ספר מרתק, כתוב מצוין, מעשיר ומומלץ מאוד.

The Indian Clerk – David Leavitt

ידיעות ספרים

2008 (2007)

תרגום מאנגלית: ליטל ידין

חיתוך הזהב / מריו ליביו

0770000167409

כותרת משנה: קורותיו של מִספר מופלא

שני מונחים מתמטיים לפתיחה:

חיתוך הזהב, המוכר גם כיחס הזהב, הוא מספר אירציונלי שסימנו פי ɸ, וערכו בקירוב 1.618 (ועוד אינסוף ספרות אחרי האפס). חיתוך הזהב התגלה ככל הנראה על ידי אחד מתלמידיו של פיתגורס, הווה אומר לפני כ-2,500 שנים. בספרו של אוקלידס, "יסודות", הוא כונה בשם פחות מפואר, "יחס קיצוני וממוצע". המתמטיקאי והנזיר פאצ'ולי העניק לו בתקופת הרנסנס את הכינוי "הפרופורציה האלוהית". התמונה למטה, מתוך ויקיפדיה, מדגימה את הקבוע המתמטי: כאשר היחס בין הקטע a לקטע b שווה ליחס שבין a+b ל-b, מתקיים חיתוך הזהב.

סדרת פיבונאצ'י היא סדרת מספרים הנפתחת בשני מספר 1, וכל איבר בסדרה, החל מן השלישי, הוא סכום האיברים שקדמו לו. היחס בין כל שני מספרים עוקבים מתכנס בהדרגה לחיתוך הזהב (כלל זה מתקיים בכל סדרה דומה, גם אם אינה נפתחת ב-1, 1 – מוזמנים לבדוק).

לקבועים מתמטיים, דוגמת ɸ ודוגמת π המוכר אף יותר, ולסדרת פיבונאצ'י, חשיבות רבה בתחומי המתמטיקה הטהורה. מריו ליביו עוקב אחר גלגוליהם, מציג את מופעיהם, ומדגים כמה הוכחות הקשורות בהם. אמנם את המתמטיקה הסבוכה יותר הוא שומר לנספחים, אבל אודה שגם את זו שהוא מציג בגוף הטקסט לא תמיד הבנתי, ואם הבנתי לא ברור אם אזכור (או ביתר כנות, ברור שאשכח). לעומת זאת, נהניתי הנאה מרובה והועשרתי בידע מחלקיו הפחות מתמטיים, והם הרוב, של הספר. ליביו מטפל אחד לאחד בכל המיתוסים שנקשרו בחיתוך הזהב, ומנפץ כמעט את כולם. בניגוד למופעים הרבים של החיתוך בטבע – בקונכיות הנאוטילוס ובפרחי החמניה, אם להזכיר שתי דוגמאות –  המופעים המיוחסים לו באמנות נובעים ברובם ממיסטיפיקציה ומשגיאות מדידה. מן הפירמידות במצרים ועד המונה ליזה והמוסיקה של באך – חיתוך הזהב לא נכלל בתהליך היצירה. באדריכלות ובאמנות הקרובות יותר לימינו יש לחיתוך הזהב נוכחות. כך מסביר ליביו את הנהיה אחר הפרופורציה האלוהית: כל הנסיונות לחשוף את הימצאותו (האמיתית או המדומה) של חיתוך הזהב ביצירות אמנות שונות, במוסיקה או בשירה, מסתמכים על ההנחה שיש בנמצא קנון של יופי אידיאלי, ושאפשר ליישמו הלכה למעשה. אבל ההיסטוריה מלמדת כי האמנים שיצירותיהם עומדות לעד הם דווקא אלה שניפצו את האזיקים האקדמיים הללו. למרות חשיבותו של חיתוך הזהב בתחומים רבים של המתמטיקה, המדעים המדויקים ותופעות הטבע, מוטב לנו לעניות דעתי שנוותר על השימוש בו כאמת מידה קבועה באסתטיקה – אם בצורתו של האדם ואם כאבן בוחן לאמנויות.

חיתוך הזהב הוא נושאו של הספר, אך ליביו מרחיב את היריעה, ומעלה נקודות מעניינות למחשבה. מכיוון שהמספרים כל כך טבעיים בחיי היומיום, לא זכור לי שנתתי את דעתי על השאלה כיצד החלו בני האדם לספור. ליביו מקדיש לנושא זה את הפרק הראשון. הפרק האחרון דן בשאלה מעניינת לא פחות – מהי המתמטיקה, וכיצד שעשועים רוחניים טהורים ובלתי מעשיים בעליל מתגלים כפותרי תעלומות היקום, או בלשונו של איינשטיין: "הכיצד יכולה המתמטיקה, פרי מחשבתו של האדם שאינה תלויה בהתנסות כלשהי, להתאים בצורה כה קולעת למציאות הגשמית?". ליביו מציג את תפיסתו של אפלטון, לפיה המתמטיקה אוניברסלית ואובייקטיבית, וכל שנותר לאדם לעשות הוא לגלות אותה. מולה הוא מתאר את התפיסה המנוגדת הרואה במתמטיקה המצאה אנושית שהתפתחה בדרך של אבולוציה ושל ברירה טבעית. עמדתו שלו משלבת בין שתי התפיסות הללו: המתמטיקה שלנו היא מקבילתו הסמלית של היקום שאנו תופסים, ועוצמתה הולכת ומתחזקת בתמדה מכוח החקר האנושי. מן הפרק הראשון ועד האחרון שורה על הספר רוח ההתלהבות המדעית, החל באהבתו של הכותב לנושאיו, ועבור בדבריו של תיאודור אנדריאה קוק, "אין צורך בשום צידוק לכתיבת הפרקים הללו על תצורות לולייניות, מעבר לענין וליופי שבחקירתן", ושל תומס אקווינס, "החושים מתרוננים על פרופורציות ראויות".

אחרי כל המדידות שהוזכרו בספר, וכל החיפושים אחרי חיתוך הזהב במקומות בהם אינו נמצא, נתקפתי דחף למדוד את הספר בתקווה לגלות שמימדיו נקבעו בהתאם לנושאו. הם לא.

כמו בספרו "למה?", גם כאן מריו ליביו מנגיש נושא מדעי לקורא הבלתי מקצועי, ברהיטות, בענייניות ובהתלהבות מדבקת. מומלץ.

The Golden Ratio – Mario Livio

אריה ניר

2003 (2002)

תרגום מאנגלית: עמנואל לוטם

חיתוך הזהב1

הסודות המתמטיים של הסימפסונים / סיימון סינג

d3627037b

אל ג'ין, כותב ומפיק של הסימפסונים, מצוטט בספר כמי שאמר "אנימציה היא יקום של מתמטיקאי". ג'ין, שסיים לימודי תואר ראשון במתמטיקה באוניברסיטת הרוורד בהיותו בן עשרים, הוא אחד מן האקדמאים המאיישים את הצוות שמאחורי הצלחת הסדרה. ג'ף וסטברוק, כותב נוסף, אוחז בדוקטורט במדעי המחשב, ולפני שבחר בקריירה של כותב תסריטים היה פרופסור חבר בייל וחוקר במעבדות איי-טי-אנד-טי בל. שני אלה, וכותבים מתמטיקאים אחרים, שילבו בפרקי הסדרה אינספור התיחסויות בתחומם, וסיימון סינג מתייחס בספר לכמה מהן.

הרשימה אותי במיוחד המסירות של הכותבים לדיוק של הפן המתמטי. הנה שתי דוגמאות. הראשונה – בפרק "הקוסם מאוורגרין טראס" הומר מחליט להיות ממציא כאדיסון. בתמונה חטופה הוא נראה משרבט נוסחאות. כל אחת מארבע השורות שעל הלוח מייצגת תפיסה מתמטית, וסינג מסביר את כולן. השורה השניה, לענייננו, מציגה שוויון המפר לכאורה את המשפט האחרון של פרמה (שאודותיו כתב סינג בספר נפרד). כדי למצוא את הערכים לשוויון זה כתב דייויד ס. כהן, אחד מתסריטאי הסדרה, בעל תואר ראשון בפיזיקה ושני במדעי המחשב, תוכנה שסרקה מספרים בחיפוש אחרי הערכים המתאימים. כל זה עבור שניות על המסך (אבל די היה בשניות אלה כדי ש"חנונים" מקרב הצופים יבינו את משמעותו של השוויון ויתהו כיצד הוא אפשרי, ומכיוון שאני נהנית כשאני קולטת התיחסויות בתחומים אחרים, אני מזדהה עם חדוותם). דוגמא שניה – בפרק "מארג' בשלשלאות" אָפּוּ מעיד על עצמו שהוא יודע לדקלם את הספרות של הערך π עד המקום ה-40,000 אחרי הנקודה, ומוסיף שהספרה האחרונה היא 1. בתקופה בה נכתב פרק זה השיא העולמי בשינון ספרות הערך האינסופי הזה אכן היה 40,000, וכדי לברר מהי הספרה שבמקום האחרון פנו הכותבים אל מתמטיקאי שעבד בנאס"א, וזה הדפיס עבורם את המספר על כל ספרותיו. אגב, כדי להמנע מהשתלטות השיח המתמטי על ישיבות הכתיבה, הקימו התסריטאים מועדון בו מושמעות הרצאות ונערכים דיונים בתחום.

מסתבר שלא רק צופים מן השורה בעלי נטיה למספרים שמו לב לסודות המתמטיים של הסימפסונים (וגם של "פיוצ'רמה" שפותחה מאוחר יותר על ידי אותו יוצר, מאט גרונינג). סינג מספר על שני מתמטיקאים בעלי שם – ד"ר שרה גרינוולד וד"ר אנדרו נסטלר – שעושים בהרצאותיהם שימוש במובאות מן הסדרה. כאות הוקרה הוזמנו השניים להיות נוכחים בהקראה של תסריט לפרק חדש, "מארג' והומר משחקים זוג או פרט". במקרה היה זה פרק ללא אזכורים מתמטיים, אך לכבוד האורחים נבחן התסריט מחדש, ובפרק שולבו בסופו של דבר מספרים בעלי משמעות.

שמחתי למצוא בספר ציטוט שאני אוהבת מפיו של ריצ'רד פיינמן, שקראתי בעבר בספרו שלו, וגם אצל ריצ'רד דוקינס ב"לפרום את הקשת בענן", ואצל חיים שפירא ב"זכרון ילדות יפה במיוחד". פיינמן, במענה לפואמה של קיטס הטוענת שניתוח רציונלי פוגם ביפי הטבע, קובע כי הידע רק מוסיף על הרושם. סינג מתייחס לנושא בהקשר של הפרק "מאניבארט", שבו ליסה משתמשת במתמטיקה כדי לאמן קבוצת בייסבול. בארט, לעומתה, מעדיף גישה אינטואיטיבית.

תרגומו של הספר לעברית נהיר וטבעי, אם כי הייתי שמחה ללשון פחות "הייטקית", הווה אומר לשימוש מופחת בעִברות (דוגמת "ריפרור") במקום בו קיימות חלופות פשוטות.

סיימון סינג הפיזיקאי עשה לעצמו שם בציבור בזכות ספריו, בהם הוא מנהיר נושאים סבוכים. הספר הזה, כמו קודמיו, נכתב מתוך אהבה והתלהבות, ולכן, גם כשהמתמטיקה עשויה להרתיע, רוח הכתיבה מספיקה כדי לרתק גם את הקורא הבלתי מקצועי. אודה כי למרות בהירות הסבריו של סינג, לא הכל הבנתי, אבל יש בספר די כדי שקוראים שונים יוכלו ללקט ממנו על פי טעמם ועל פי נטיותיהם. נהניתי מתיאורי העבודה על התסריט, מכל מה שכרוך בהיסטוריה של המתמטיקה, ופה ושם גם הרחבתי מעט את הידע המתמטי הבסיסי שלי. סינג, למרות רצינותו המדעית, כותב בהומור ובכשרון סיפורי, והספר קריא, מעשיר ומהנה.

דוגמאות למתמטיקה של הסימפסונים ניתן לראות באתר הזה.

The Simpsons and their Mathematical Secrets – Simon Singh

ידיעות ספרים

2018 (2013)

תרגום מאנגלית: חיים שמואלי

הסודות המתמטיים של הסימפסונים - לוח