חיתוך הזהב / מריו ליביו

0770000167409

כותרת משנה: קורותיו של מִספר מופלא

שני מונחים מתמטיים לפתיחה:

חיתוך הזהב, המוכר גם כיחס הזהב, הוא מספר אירציונלי שסימנו פי ɸ, וערכו בקירוב 1.618 (ועוד אינסוף ספרות אחרי האפס). חיתוך הזהב התגלה ככל הנראה על ידי אחד מתלמידיו של פיתגורס, הווה אומר לפני כ-2,500 שנים. בספרו של אוקלידס, "יסודות", הוא כונה בשם פחות מפואר, "יחס קיצוני וממוצע". המתמטיקאי והנזיר פאצ'ולי העניק לו בתקופת הרנסנס את הכינוי "הפרופורציה האלוהית". התמונה למטה, מתוך ויקיפדיה, מדגימה את הקבוע המתמטי: כאשר היחס בין הקטע a לקטע b שווה ליחס שבין a+b ל-b, מתקיים חיתוך הזהב.

סדרת פיבונאצ'י היא סדרת מספרים הנפתחת בשני מספר 1, וכל איבר בסדרה, החל מן השלישי, הוא סכום האיברים שקדמו לו. היחס בין כל שני מספרים עוקבים מתכנס בהדרגה לחיתוך הזהב (כלל זה מתקיים בכל סדרה דומה, גם אם אינה נפתחת ב-1, 1 – מוזמנים לבדוק).

לקבועים מתמטיים, דוגמת ɸ ודוגמת π המוכר אף יותר, ולסדרת פיבונאצ'י, חשיבות רבה בתחומי המתמטיקה הטהורה. מריו ליביו עוקב אחר גלגוליהם, מציג את מופעיהם, ומדגים כמה הוכחות הקשורות בהם. אמנם את המתמטיקה הסבוכה יותר הוא שומר לנספחים, אבל אודה שגם את זו שהוא מציג בגוף הטקסט לא תמיד הבנתי, ואם הבנתי לא ברור אם אזכור (או ביתר כנות, ברור שאשכח). לעומת זאת, נהניתי הנאה מרובה והועשרתי בידע מחלקיו הפחות מתמטיים, והם הרוב, של הספר. ליביו מטפל אחד לאחד בכל המיתוסים שנקשרו בחיתוך הזהב, ומנפץ כמעט את כולם. בניגוד למופעים הרבים של החיתוך בטבע – בקונכיות הנאוטילוס ובפרחי החמניה, אם להזכיר שתי דוגמאות –  המופעים המיוחסים לו באמנות נובעים ברובם ממיסטיפיקציה ומשגיאות מדידה. מן הפירמידות במצרים ועד המונה ליזה והמוסיקה של באך – חיתוך הזהב לא נכלל בתהליך היצירה. באדריכלות ובאמנות הקרובות יותר לימינו יש לחיתוך הזהב נוכחות. כך מסביר ליביו את הנהיה אחר הפרופורציה האלוהית: כל הנסיונות לחשוף את הימצאותו (האמיתית או המדומה) של חיתוך הזהב ביצירות אמנות שונות, במוסיקה או בשירה, מסתמכים על ההנחה שיש בנמצא קנון של יופי אידיאלי, ושאפשר ליישמו הלכה למעשה. אבל ההיסטוריה מלמדת כי האמנים שיצירותיהם עומדות לעד הם דווקא אלה שניפצו את האזיקים האקדמיים הללו. למרות חשיבותו של חיתוך הזהב בתחומים רבים של המתמטיקה, המדעים המדויקים ותופעות הטבע, מוטב לנו לעניות דעתי שנוותר על השימוש בו כאמת מידה קבועה באסתטיקה – אם בצורתו של האדם ואם כאבן בוחן לאמנויות.

חיתוך הזהב הוא נושאו של הספר, אך ליביו מרחיב את היריעה, ומעלה נקודות מעניינות למחשבה. מכיוון שהמספרים כל כך טבעיים בחיי היומיום, לא זכור לי שנתתי את דעתי על השאלה כיצד החלו בני האדם לספור. ליביו מקדיש לנושא זה את הפרק הראשון. הפרק האחרון דן בשאלה מעניינת לא פחות – מהי המתמטיקה, וכיצד שעשועים רוחניים טהורים ובלתי מעשיים בעליל מתגלים כפותרי תעלומות היקום, או בלשונו של איינשטיין: "הכיצד יכולה המתמטיקה, פרי מחשבתו של האדם שאינה תלויה בהתנסות כלשהי, להתאים בצורה כה קולעת למציאות הגשמית?". ליביו מציג את תפיסתו של אפלטון, לפיה המתמטיקה אוניברסלית ואובייקטיבית, וכל שנותר לאדם לעשות הוא לגלות אותה. מולה הוא מתאר את התפיסה המנוגדת הרואה במתמטיקה המצאה אנושית שהתפתחה בדרך של אבולוציה ושל ברירה טבעית. עמדתו שלו משלבת בין שתי התפיסות הללו: המתמטיקה שלנו היא מקבילתו הסמלית של היקום שאנו תופסים, ועוצמתה הולכת ומתחזקת בתמדה מכוח החקר האנושי. מן הפרק הראשון ועד האחרון שורה על הספר רוח ההתלהבות המדעית, החל באהבתו של הכותב לנושאיו, ועבור בדבריו של תיאודור אנדריאה קוק, "אין צורך בשום צידוק לכתיבת הפרקים הללו על תצורות לולייניות, מעבר לענין וליופי שבחקירתן", ושל תומס אקווינס, "החושים מתרוננים על פרופורציות ראויות".

אחרי כל המדידות שהוזכרו בספר, וכל החיפושים אחרי חיתוך הזהב במקומות בהם אינו נמצא, נתקפתי דחף למדוד את הספר בתקווה לגלות שמימדיו נקבעו בהתאם לנושאו. הם לא.

כמו בספרו "למה?", גם כאן מריו ליביו מנגיש נושא מדעי לקורא הבלתי מקצועי, ברהיטות, בענייניות ובהתלהבות מדבקת. מומלץ.

The Golden Ratio – Mario Livio

אריה ניר

2003 (2002)

תרגום מאנגלית: עמנואל לוטם

חיתוך הזהב1

למה? / מריו ליביו

למה

כותרת משנה: מסע בעקבות הסקרנות האנושית

מריו ליביו, חוקר סקרן, מפנה בספר זה את תשומת לבו לשאלה למה אנחנו שואלים. כיצד קרה שבני-אדם, בשונה משאר בעלי החיים, אינם מסתפקים בעובדות שמול עיניהם, אלא מבקשים לדרוש במופלא מהם? מהי בעצם תכונת הסקרנות? מה מניע אותה? כיצד היא יוצאת אל הפועל? ליביו ניגש אל הנושא מכמה זויות, ומסכם את הידע הקיים, אך מדובר בתחום מחקרי המצוי בשלביו הראשונים, ויותר משהספר מספק תשובות הוא מעורר שאלות מעניינות.

את מסעו בעקבות הסקרנות האנושית פותח ליביו בתיאור שניים מן הסקרנים הגדולים בהיסטוריה. מטרתו אינה בהכרח למצוא מכנה משותף בין שניהם, כזה שיהווה תובנה מעמיקה על טיבה של הסקרנות. הוא סבור שמכיוון שמבחינת רוח החקרנות שניהם היו משכמם ומעלה בדורם, מעניין להתבונן בנושא מעיניהם. הראשון בהם הוא ליאונרדו דה וינצ'י, בן המאה החמש-עשרה וראשית המאה השש-עשרה. ליאונרדו לא זכה להשכלה מסודרת כמדען, ואל רוב תובנותיו הגיע מכוח הנסיון ולא מכוח הלימוד. כשתצפיותיו לא עלו בקנה אחד עם הידע שהצטבר עד זמנו, הוא הניח בפשטות שהתצפית גוברת על התיאוריה, ובכך ייצג למעשה את ראשית החשיבה המדעית המודרנית. סקרנותו וחקרנותו היו בעיניו טבעיות, כדבריו, "תשוקתם הטבעית של אנשים טובים היא הדעת". הסקרן השני הוא ריצ'רד פיינמן, ששאף לחקור כל תופעה שקסמה לו, לא רק בתחום המדע שבו תרם תרומות כבירות. פיינמן התנגד בחריפות לעמדה הטוענת שהמדע גורע מן היופי ומן המסתורין, ואמר, "מה התבנית, או המשמעות, או הלמה? לא יזיק לתעלומה אם נדע עליה משהו. כי האמת הרבה יותר נפלאה מכל מה שאמני העבר העלו בדמיונם".

לאחר שהציץ אל עולמם של מקרי הקיצון של הסקרנות, ליביו מבקש להתבונן בסקרנות מנקודות מבט מחקריות. תחילה הוא פונה אל הפסיכולוגיה ואל חקר ההתנהגות. המונחים העיקריים בהם הוא דן כאן ובהמשך הם סקרנות תפיסתית, הנובעת מחדשנות, כלומר ממידע שלא היה ידוע עד כה, וסקרנות אפיסטמית, שפירושה הרצון לידע. מונח מרכזי נוסף הוא פער בידע, הווה אומר, בלשונו של הפסיכולוג ג'ורג' לונסטיין, הסקרנות היא "חסך קוגניטיבי במקורו הנובע מתפיסת קיומו של פער בידע ובהבנה". ליביו מתאר מחקרים התנהגותיים בתחום זה, כולל מחקרים שהתרכזו בסקרנותם של פעוטות ובתהליך הלימוד המהיר המאפיין אותם.

מן המחקר ההתנהגותי פונה הכותב אל המחקר הפיסיולוגי, ומתאר את תוצאות הבדיקות שעקבו אחר פעולת המוח בעת סקרנות באמצעות fMRI (דימות תהודה מגנטית בתפקוד). תוצאות אחד המחקרים העלו קשר בין הסקרנות ובין מנגנוני גמול ועונג. תוצאות מחקר אחר גילו שהסקרנות משפעלת איזורי מוח הרגישים דווקא לתנאים לא נעימים. הפער הזה יכול להיות מוסבר בעובדה שבניסוי הראשון הופעלה סקרנות אפיסטמית, שהיא מענגת, בעוד בניסוי השני היה מדובר בסקרנות תפיסתית, שיש בה אלמנט של חרדה ושל חוסר נוחות. עוד נמצאו קשרים בין הסקרנות לבין מרכז ברוקה, האחראי על תהליכי השפה, ונמצא קישור בין הסקרנות לבין פעולת הזכרון המתרחשת בהיפוקמפוס. את קשיי המחקר מסביר ליביו כך: "המוח הוא פריט חומרה כה מורכב, והנפש היא פריט תוכנה כה משוכלל ובלתי-חדיר, עד שאפילו הניסויים המתוכננים בקפדנות מאין כמותה משאירים תמיד מעט מקום לבלתי-צפוי".

הפרק הבא מתייחס להתפתחות הסקרנות האנושית, ולקפיצה המדהימה במספר תאי העצב במוח בתקופה קצרה יחסית. ליביו מצביע על אפשרות של מנגנון משוב חיובי, שלפיו העליה במספר תאי העצב, שנבעה מן ההליכה על שתיים הצורכת פחות אנרגיה מהליכה על ארבע, ובכך מפנה משאבים לטובת המוח, העליה הזו תרמה לפיתוח הסקרנות, שבזכותה התאפשר השימוש בכלים ובאש. שימוש זה הביא לבישול אוכל, ובכך הפחית את העומס על מערכת העיכול, הווה אומר חסכון נוסף באנרגיה שהופנתה למוח. התוצאה היא מוח כפול בגודלו – 86 מליארד תאי עצב – וקידום הסקרנות האנושית.

לסיום חוזר מריו ליביו אל מספר אנשים המדגימים אורח חיים חקרני, מהם הוא מבקש להבין כיצד התפתחה סקרנותם, והוא מסכם בשאלה כיצד ניתן לעודד התנהגות סקרנית, גם אם לוקחים בחשבון שלגנטיקה יש השפעה מכריעה על הנטיה לחקרנות.

בעיני הסקרנות היא הנותנת טעם לחיים, וחשתי הזדהות כשמתוך סבך התיאוריות עלתה הסברה ש"הסקרנות היא הגמול של עצמה, והכוח המניע אותה הוא החתירה אל ההשפעות הנעימות של פליאה והתעניינות".

מריו ליביו הוא כותב רהוט, ענייני, המשלב מצוין מדע עם אנקדוטות, ומאזן בין מחקר יבש לסיפורים אישיים, ובכך מנגיש את עולם המחקר לקורא הסקרן שאינו מומחה. מסעו של ליביו בעקבות הידע מרתק ומזמין להצטרף אליו.

Why? – Mario Livio

אריה ניר ומודן

2017 (2017)

תרגום מאנגלית: עמנואל לוטם